Нехай задана функція , де t — дійсна її змінна.
Тоді перетворенням Лапласа називається інтеграл: . (1)
Тобто, коли у відповідь функції f(t) ставиться функція F(p), де: ,
– оригінал,
– зображення (при виконанні умови збіжності інтегралу).
Позначення перетворення Лапласа: .
Не всяка функція може бути оригіналом. Достатньою умовою для того, щоб функція вважалась оригіналом може бути:
1) , якщо
,
; якщо
.
2) повинна мати гладку форму, тобто, бети диференційованою.
3) має зростати не швидше, ніж показникові функція.
Тобто, при існуванні двох чисел S та C повинна виконуватись така нерівність:
.
Найменші значення чисел f позначаються d0.
Справедлива така теорема: якщо f(t) — функція-оригінал з індексом розпаду d0, то інтеграл (1) буде рівним: .
Властивості перетворення Лапласа.
Властивість 1: Лінійність.
,
, тому
.
Властивість 2: Диференціювання оригіналу.
,
,
.
Властивість 3: Подібність.
,
.
Властивість 4: Інтегрування оригіналу.
,
.
Властивість 5: Теорема зміщення. .
Властивість 6: Диференціювання зображення.
,
.
Узагальнено: .
Властивість 7: Інтегрування зображення.
Властивість 8: Теорема запізнення. Якщо , то
,
.
Властивість 9: Зображення періодичного оригіналу.
Якщо на
;
, де Т- період, к – натуральне число, то
.