Розв’язкок однорідного лінійного диференціального рівняння

Про лінійно незалежні розв’язки лінійного рівняння n-го порядку кажуть, що вони утворюють фундаментальну систему розв’язків.

Загальний розв’язок лінійного рівняння n-го порядку з правою частиною(однорідного) складається із загального розв’язку відповідного йому рівняння без правої частини(неоднорідного) і якого-небудь часткового розв’язку самого рівняння.

Метод варіації довільних сталих використовується і у випадку лінійних рівнянь будь-якого порядку n. Для його застосування необхідно тільки знати фундаментальну систему розв’язків відповідного рівняння без правої частини.

Якщо у1,у2,…,уn – фундаментальна система розв’язків рівняння

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_ny=0,

то розв’язком рівняння

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_ny=f(x)

є функція

c₁y₁+c₂y₂+…+c_ny_n,

де с1,с2,…,с_n – функція незалежної змінної, похідні якої с’₁,с’₂,…,с’_n задовольняють наступній системі n лінійних алгебраїчних рівнянь:

c^/1y1+c^/₂y₂+…+c^/_ny_n=0,

c^/1y^/1+c^/₂y^/₂+…+c^/_ny^/_n=0,

.

.

c^/1y^(n-1)1+c^/₂y^(n-1)₂+…+c^/_ny^(n-1)_n=f(x)