Відношення оператора дії до власного оператора називають передаточною функцією чи передаточною функцією в операторній формі.
Систему, яка описується рівнянням
Q(p)y=R1(p)u+R2(p)f, (1)
де Q(p)=
– диференціальний оператор при вихідній величині (власний оператор)
R1(p)=
і R2(p)=
– диференціальні оператори при вхідних величинах (оператори дії) можна характеризувати двома передаточними функціями: передаточною функцією W1(p) по вхідній величині u, тобто
і передаточною функцією W2(p) по вхідній величині f, тобто
Використовуючи передаточні функції рівняння (1) можна записати у вигляді:
y=W1(p)u+W2(p)f (2)
Рівняння (1) і (2) називають рівняннями в символічній чи операторній формі запису
Разом з передаточною функцією у операторній формі, широко використовують передаточну функцію у формі зображень Лапласа.
Передаточною функцією чи передаточною функцією зображень Лапласа називають відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини при нульових початкових умовах. Якщо система має декілька входів, то при визначені передаточної функції відносно якої-небудь однієї вхідної величини інші величини визначають рівними нулю. Відповідно отримаємо дві передаточні функції у формі зображень Лапласа:
(3)
Порівнюючи вирази передаточних функцій в операторній формі і формі зображень Лапласа, можна побачити, що вони повністю співпадають.
Передаточну функцію в формі зображень Лапласа можна отримати і передаточної функції в операторній формі якщо в останній зробити підстановку p=s. В загальному випадку це слідує з того, що диференціюванню оригінала – символічному множенню оригінала на р – при нульових початкових умовах відповідає множення зображення на комплексне число s. Схожість між передаточними функціями в формі зображень Лапласа і в операторній формі лише зовні. Вона має місце лише у випадку стаціонарних систем.
Якщо система являється нестаціонарною, тобто коефіцієнти в (1) залежать від часу формула (3) невірна.
Використовуючи передаточні функції рівняння (3) можна записати:
при Y(s)=W1(s)U(s)+W2(s)F(s)
Це рівняння адекватне рівнянню (1), лише при нульових початкових умовах. Передаточні функції системи наряду з диференціальними рівняннями широко використовуються для опису систем автоматичного управління (САУ). Але нульових початкових умовах вони не завжди являються їх єдиними характеристиками.