Метод Фур’є

Метод Фур’є полягає в пошуку розв’язку рівняння у вигляді добутку двох функцій. Цей метод особливо зручний для розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними, в яких невідомою є функція двох змінних U(х,у). Тоді частинний розв’язок рівняння відшукується у вигляді: U(x,y)=X(x)Y(y)

Задовольняючи граничні та початкові умови, вдається знайти розв’язок и(х,у). Цим методом можна розв’язувати, наприклад,хвильові рівняння, рівняння теплопровідності.

Нехай f(x) – довільна функція, залана в інтервалі [–p; p]; при цьому f(x) може мати точки розриву. Коефіцієнтами Фур’є-функції f(x) називають числа a_n і b_n, що визначаютьсяза формулами

,

Ряд називають рядом Фур’є функції f(x).

Основна теорема про можливість розкладання функції f(x) в ряд Фур’є: якщо функція f(x) кусково-гладка в інтервалі [–p; p] то її ряд Фур’є сходиться до функції f(x) у всіх точках цього інтервалу, в яких вона неперервна.

Нехай функція f(x) визначена на всій числовій осі; будемо припускати що вона в інтервалі [–l; l] кусково-гладка і тому може бути розкладена в ряд Фур’є і що власний інтеграл від абсолютної величини цієї функції сходиться

При цьому інтеграл Фур’є буде мати вигляд

Представлення інтеграла Фур’є в комплексній формі

F(w) називається перетворенням Фур’є функції f(x). В свою чергу функція f(x) є зворотнім перетворенням Фур’є для функції (F(w))².

Нехай функція f(x) задана на інтервалі [0; ¥]. Подовжуючи її парним і непарним чином інтервал (–¥; 0) можна отримати наступні формули

– При парному продовженні де

– При непарному подовженні де

Функції F_c(w) і F_s(w) називають відповідно косинус-перетворенням і синус-перетворенням Фур’є для функції f(x).