Лінійні диференційні рівняння

Диференційним рівнянням n-го порядку називається рівняння виду

Розв’язком диференціального рівняння називається функція y(x), яка при підстановці в рівняння перетворює його у тотожність. Загальним розв’язком диференціального рівняння називають сукупність усіх його розв’язків.

Д.Р. 1-го порядку називається лінійним, якщо його можна перетворити до вигляду

,

де p(x), q(x) – неперервні функції.

Лінійність для диференціального рівняння означає, що невідома функція у та її похідна входять у рівняння в першій степені, тобто лінійно.

Для розв’язання таких рівнянь існує два методи:

– метод варіації довільної сталої;

– метод Бернуллі.

Розглянемо дане рівняння за методом Бернуллі. Будемо шукати розв’язок у вигляді добутку 2-х функцій . Ці функції потрібно підібрати так, щоб внаслідок підстановки у дане диференціального рівняння воно перетворювалось на тотожність. Використаємо підстановку:

Другий і третій доданки згрупуємо, тоді маємо

З метою знайти окремо функцію V(x), а потім U(x) накладемо умову:

Від одного Д.Р. з двома невідомими функціями U, V ми перейшли до системи двох диференціальних рівнянь (1) – відносно V, (2) – відносно U після підстановки V .

(1): . Отже можна відокремити зміну.

– помножимо вираз на dx та поділимо на V, що не дорівнює 0. Отже, маємо

– проінтегруємо даний вираз:

та отримаємо:

(2): U¹ V=q(x)

– помножимо вираз на e^P(x)

– помножимо вираз на dx

– проінтегруємо вираз

– загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння 1-го прядку