Диференційним рівнянням n-го порядку називається рівняння виду
Розв’язком диференціального рівняння називається функція y(x), яка при підстановці в рівняння перетворює його у тотожність. Загальним розв’язком диференціального рівняння називають сукупність усіх його розв’язків.
Д.Р. 1-го порядку називається лінійним, якщо його можна перетворити до вигляду
,
де p(x), q(x) – неперервні функції.
Лінійність для диференціального рівняння означає, що невідома функція у та її похідна входять у рівняння в першій степені, тобто лінійно.
Для розв’язання таких рівнянь існує два методи:
– метод варіації довільної сталої;
– метод Бернуллі.
Розглянемо дане рівняння за методом Бернуллі. Будемо шукати розв’язок у вигляді добутку 2-х функцій . Ці функції потрібно підібрати так, щоб внаслідок підстановки у дане диференціального рівняння воно перетворювалось на тотожність. Використаємо підстановку:
Другий і третій доданки згрупуємо, тоді маємо
З метою знайти окремо функцію V(x), а потім U(x) накладемо умову:
Від одного Д.Р. з двома невідомими функціями U, V ми перейшли до системи двох диференціальних рівнянь (1) – відносно V, (2) – відносно U після підстановки V .
(1): . Отже можна відокремити зміну.
– помножимо вираз на dx та поділимо на V, що не дорівнює 0. Отже, маємо
– проінтегруємо даний вираз:
та отримаємо:
(2): U1 V=q(x)
– помножимо вираз на eP(x)
– помножимо вираз на dx
– проінтегруємо вираз
– загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння 1-го прядку
для школьников хватит
неплохо.но мало