Лінійні диференційні рівняння

Диференційним рівнянням n-го порядку називається рівняння виду

clip_image002

Розв’язком диференціального рівняння називається функція y(x), яка при підстановці в рівняння перетворює його у тотожність. Загальним розв’язком диференціального рівняння називають сукупність усіх його розв’язків.

Д.Р. 1-го порядку називається лінійним, якщо його можна перетворити до вигляду

clip_image004,

де p(x), q(x) – неперервні функції.

Лінійність для диференціального рівняння означає, що невідома функція у та її похідна входять у рівняння в першій степені, тобто лінійно.

Для розв’язання таких рівнянь існує два методи:

– метод варіації довільної сталої;

– метод Бернуллі.

Розглянемо дане рівняння за методом Бернуллі. Будемо шукати розв’язок у вигляді добутку 2-х функцій clip_image006. Ці функції потрібно підібрати так, щоб внаслідок підстановки у дане диференціального рівняння воно перетворювалось на тотожність. Використаємо підстановку:

clip_image008

Другий і третій доданки згрупуємо, тоді маємо

clip_image010

З метою знайти окремо функцію V(x), а потім U(x) накладемо умову:

clip_image012

Від одного Д.Р. з двома невідомими функціями U, V ми перейшли до системи двох диференціальних рівнянь (1) – відносно V, (2) – відносно U після підстановки V .

(1): clip_image014. Отже можна відокремити зміну.

clip_image016 – помножимо вираз на dx та поділимо на V, що не дорівнює 0. Отже, маємо

clip_image018 – проінтегруємо даний вираз:

clip_image020 та отримаємо: clip_image022

clip_image024

(2): U1 V=q(x)

clip_image026 – помножимо вираз на eP(x)

clip_image028

clip_image030 – помножимо вираз на dx

clip_image032 – проінтегруємо вираз

clip_image034

clip_image036 – загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння 1-го прядку

2 Comments

Добавить комментарий

Your email address will not be published.

Default thumbnail
Previous Story

Диференціальні рівняння вищих порядків

Default thumbnail
Next Story

Визначений інтеграл

Latest from Вища математика

Default thumbnail

Функція Бесселя

Вона виражається, як рішення ДР Бесселя: у′′+(1/х) у′+(1-n2/x2)y=0 Останій задовольняється рядом

Default thumbnail

Перехідні функції

Відношення оператора дії до власного оператора називають передаточною функцією чи передаточною функцією

Default thumbnail

Метод Фур’є

Метод Фур’є полягає в пошуку розв’язку рівняння у вигляді добутку двох функцій.