Диференціальне рівнняня n-го порядку записують у вигляді: або, якщо його можна вирішити відносно n-ї похідної:
.
Якщо в рівнянні функція
і її частинні похідні по аргументам
неперервні в деякій області, що містить значення
,
,
, то існує єдине рішення
рівняння, що задовільняє умавам, які називаються початковими:
(*).
Загальним розв’язком диференціального рівняння n-го порядку наз. функція , що залежить від n довільних сталих
і така, що:
1) вона задовільняє рівняння при будь-яких значеннях сталих ;
2) при заданих початкових умовах (*) сталі можна підібрати так, що функція
буде задовільняти цим умовам.
Відношення виду наз. загальним інтегралом диференціального рівняння.
Будь-яка функція, яка отримується із загального рішення при конкретних значеннях сталих наз. частковим розв’язком. Графік часткового розв’язку наз. інтегральною кривою диференціального рівняння.
Розв’язати (проінтегрувати) диференціальне рівняння n-го порядку значить:
1) знайти його загальний розв’язок (якщо початкові умови не задані);
2) знайти частковий розв’язок рівняння (якщо початкові умови задані).