Відношення теплоємностей газу методом клемана-дезорма

Стан газу може бути охарактеризований трьома величинами — параметрами стану, тиском р, об’ємом V, температурою Т. Рівнянням, що зв’язує ці величини, називається рівнянням стану газу.

Рівнянням стану ідеального газу є рівняння Менделеєва-Клапейрона, яке для одного моля газу має вигляд:

pV=RT (1)

де R — молярна газова стала.

Теплоємність газів залежить від умов нагрівання. З’ясуємо цю залежність, використовуючи рівняння стану (1) і перший закон термодинаміки, який формулюється так: кількість теплоти dQ, що передається системі, витрачається на збільшення її внутрішньої енергії dU і на роботу dA, що виконує система проти зовнішніх сил:

dQ=dU+Da (2)

За означенням теплоємність дорівнює:

(3)

З рівняння (3) видно, що теплоємність може мати різні значення в залежності від способів нагрівання газу, тому що одному і тому ж значенню dT можуть відповідати різні значення dU і dA Елементарна робота дорівнює:

dA=pdV (4)

Розглянемо процеси, що протікають в ідеальному газі при зміні температури, коли маса газу залишається незмінною і дорівнює одному молю. Кількість теплоти, що необхідна для нагрівання одного моля газу на 1°С, називається молярною теплоємністю.

Процес, що протікає при постійному тискові p=const, називається ізобаричним. Для цього випадку формула (3) буде мати вигляд:

(5)

З рівняння (1) одержимо

pdV+Vdp=RdT (6)

Але p=const і dp=0, тому pdV=RdT. Підставляючи це значення в рівняння (5) і замінивши dU на C_vdT, одержимо

C_p=C_v+R (7)

Процес називається ізохоричним, якщо об’єм газу при зміні температури залишається незмінним, тобто V=const. У даному випадку dv=0. Отже, dA=0, тобто при цьому вся теплота, що підводиться до газу, іде на збільшення його внутрішньої енергії. Тоді з рівняння (3) випливає, що молярна теплоємність газу при постійному об’ємові:

Ізотермічним називається процес, що протікає при постійній температурі T=const. У цьому випадку dT=0 і dQ = dA, тобто внутрішня енергія газу залишається постійною, і вся теплота, що підводиться, витрачається на роботу.

Процес, що протікає без теплообміну з зовнішнім середовищем, називається адіабатичним. Оскільки dQ=0, перший закон термодинаміки буде мати вигляд:

dU+dA=0.

або

dA=-dU=-C_vdT,

тобто при адіабатичному процесі розширення або стискання робота виконується газом тільки за рахунок зміни запасу внутрішньої енергії.

Виведемо рівняння адіабатичного процесу (рівняння Пуассона). Виходячи з того, що dA=-dU, dA=pdV і dU=C_vdT, маємо:

рdV=-C_vdT (8)

Поділивши рівняння (6) на (8) і враховуючи (7), одержимо:

або

де

Інтегруючи останній вираз, після потенціювання одержимо рівняння Пуассона:

pV^g = const

Величину можна визначити за допомогою приладу Клемана-Дезорма (рис. 1), що складається з теплоізольованого балону А з повітрям при атмосферному тискові р_а, насоса та рідинного манометра М. У балон при закритому крані К накачують повітря. Тиск повітря в балоні підвищиться і стане рівним:

Р₁=Р_а+h₁

де h₁ — надлишок тиску повітря в балоні.

Нехай маса повітря після закачування насосом в посудину об’ємом V дорівнює m. Коли кран відкривають, то частина повітря виходить. Позначимо масу повітря, що виходить через Dm, тоді маса повітря, що залишилась, m₁=m-Dm.

Маса повітря m, що знаходиться в балоні, займала перед відкриттям крану об’єм V₁ менший, ніж V. Оскільки процес короткочасний і значного теплообміну між газом і стінками балона немає, його можна вважати адіабатичним. Згідно з рівнянням Пуассона для маси газу m₁ одержимо:

(9)

Внаслідок адіабатичного розширення газу температура його знизиться, а потім в результаті теплообміну температура газу через невеликий проміжок часу стане рівною кімнатній. При цьому тиск газу підвищиться до величини р₃=р_а+p₂. Початковий і кінцевий стан газу розглядається при однаковій температурі. Тому на основі закону Бойля-Марютта

P₁V₁=p₃V (10)

Розв’язуючи рівняння (9) і (10) відносно у, знаходимо:

(11)

Розкладемо lg p₁ і lg р₃ в ряд Тейлора і підставимо ці значення в формулу (11). Остаточно Одержимо:

(12)

Рис. 7-1. 1