Хвилі

Під поняттям хвиля розуміють різноманітні фізичні процеси, при яких здійснюються періодичні зміни (їх ще називають збуреннями) якої-небудь фізичної величини у часі та просторі. Хвилі бувають продольні та поперечні. Якщо зміна фізичної величини відбувається у напрямку розповсюдження збурення, то така хвиля називається продольною. Поперечною ж називається хвиля, у якої коливання здійснюються у напрямку, перпендикулярному до її розповсюдження.

Найбільш важливі види хвиль, які часто зустрічаються — пружні хвилі, хвилі на поверхнях рідин та електромагнітні хвилі. Основна властивість усіх хвиль, незалежно від їх природи, полягає у тому, що у хвилі здійснюється перенесення енергії без перенесення речовини. Хвильові процеси зустрічаються майже у всіх областях фізичних явищ, тому їх вивчення має велике значення.

Геометричне місце точок, до яких дійшло збурення в момент часу t, називають фронтом хвилі. Фронт хвилі, таким чином, ділить весь простір на дві області: простір, що охоплюється хвильовим процесом і простір, куди збурення ще не дійшло.

Геометричне місце точок, в яких змінна величина має однакову фазу, називається хвильовою поверхнею. Фронт хвилі є частковим випадком хвильової поверхні. В залежності від форми хвилевої поверхні (фронту хвилі) виділяють плоскі та сферичні хвилі. Хвилева поверхня плоских хвиль плоска, а сферичних — сферична. Сферичні хвилі створюються точковими джерелами, під якими розуміють джерела, розміри яких значно менші довжини хвилі.

Рівнянням хвилі називають вираз, який визначає змінну величину як функція часу та просторових координат:

,

Ця функція є періодичною відносно часу та координат. В оптиці найбільшу цікавість представляють біжучі хвилі, в яких хвилевий фронт переміщається з певною швидкістю. З бігучою хвилею пов’язаний направлений перенос енергії, імпульсу та інших характеристик.

Рівняння плоскої біжучої хвилі, яка розповсюджується вздовж додаткового напряму осі Х:

, (1)

Де S₀ — амплітуда (максимальне значення) змінної величини S; вираз , що знаходиться під знаком косинуса називається фазою хвилі; х — відстань від початку координат до даної точки; w — циклічна частота. Вона пов’язана з періодом Т або лінійною частотою коливання n:

.

Знак «–» у формулі (1) відповідає хвилі, що розповсюджується в позитивному напрямку вісі Х, а знак «+» відповідає хвилі, що розповсюджується у зворотному напряму по відношенню до вісі Х.

Рівняння (1) можна записати у вигляді:

, (2)

Де . Величина k називається хвильовим числом. Хвильове число рівне числу хвиль, що вкладаються у відрізок довжини, рівний 2p метрів. Під довжиною хвилі l розуміють мінімальну відстань між точками, в яких змінна величина коливається в однаковій фазі, або відстань, яку проходить хвиля за час, рівний періоду, тобто:

.

Хвилі, що описуються рівняннями (1) та (2), є плоскими біжучими монохроматичними хвилями. Рівняння сферичної біжучої монохроматичної хвилі можна представити у вигляді:

, (3)

Де представляє амплітуду хвилі, яка зменшується обернено пропорційно відстані від центру; знак «–» відповідає хвилі, що розповсюджується від центру (хвиля, що розходиться), знак «+» відповідає хвилі, яка прямує до центру (хвиля, що сходиться).

Визначимо швидкість розповсюдження монохроматичної хвилі. Для цього зафіксуємо деяке значення фази у рівності (1), яка описує хвилю, яка розповсюджується у позитивному напрямку вісі Х:

.

Продиференціювавши отриманий вираз, отримаємо:

.

Таким чином, швидкість розповсюдження монохроматичної хвилі u представляє собою фазову швидкість, тобто швидкість переміщення точок постійної фази.

Аналогічно, з рівності (2) можна отримати вираз, який пов’язує фазову швидкість, циклічну частоту та хвильове число:

. (4)

Відомо, що в неоднорідному середовищі чи при переході хвилі з одного середовища в інше, її частота не змінюється. Тому зі співвідношення (4) слідує, що при зміні фазової швидкості змінюється довжина хвилі і відповідно її хвильове число.

Рівняння довільної хвилі, що поширюється в однорідному середовищі має вигляд:

, або ,

Де v — фазова швидкість хвилі, а D — оператор Лапласа:

.