Робота і потужність

Зміна механічного руху тіла викликається силами, діючими на нього зі сторони інших тіл. Для кількісного опису такого процесу обміну енергією між взаємодіючими тілами у механіці користуються поняттям роботи сили, прикладеної до тіла, яке розглядається. Елементарною роботою сили F на малому переміщенні dr називається скалярна величина

де r i – радіус-вектор та швидкість точки прикладення сили, а dt – малий проміжок часу, за який сила F здійснює роботу δА.

Вираз для елементарної роботи можна також представити у вигляді

,

де ds=|dr| – елементарна довжина шляху точки прикладення сили за малий проміжок часу dt, який розглядається; α – кут між векторами F i dr, а F_τ=F×cosα – проекція сили на напрямок переміщення dr. Сила нормальна до траєкторії її прикладення, роботи не виконує.

Силу F називають рушійною силою, якщо F_τ>0, так що δА>0. Якщо ж F_τ<0 (δА<0) то силу F називають гальмуючою силою (силою опору).

Якщо на механічну систему одночасно діють сили F₁, F₂,…,F_n, то робота δА, яка виконується ними за малий час dt, дорівнює алгебраїчній сумі робіт, які виконуються за той же час dt кожної сили окремо

де і – радіус-вектор і швидкість точки прикладення сили

Робота А, яка виконується силою F на кінцевій ділянці траєкторії L точки її прикладення , дорівнює алгебраїчній сумі робіт на всіх малих частинах цієї ділянки, тобто виражається лінійним інтегралом ,

де S – довжина дуги, F_τ – проекція сили на напрямок переміщення dr точки її прикладення.

Потенціальними силами називаються такі сили, робота яких залежить лише від початкових і кінцевих положень точок їх прикладення і не залежить ні від виду траєкторії цих точок, ні від законів їх руху по траєкторіям.

Для характеристики роботи, яка здійснюється за одиницю часу, в механіці користуються поняттям потужності. Потужністю (миттєвою потужністю) називається скалярна фізична величина N, яка дорівнює відношенню елементарної роботи δА до малого проміжку часу dt , на протязі якого ця робота виконується,

Якщо F – сила, яка виконує роботу δА, то потужність дорівнює скалярному добутку сили F на швидкість v точки її прикладення

В загальному випадку потужність може змінюватися з часом.

Середньою потужністю в інтервалі часу від t до t+Δt називається фізична величина , яка дорівнює відношенню роботи А, яка виконується за цей проміжок часу, до її тривалості Δt :