Математичні основи функціонування квантових комп’ютерів

3433

Класичний комп’ютер складається, грубо кажучи, із деякого числа бітів, з якими можна виконувати арифметичні операції. Основним елементом квантового комп’ютера (КК) є квантові біти, або кубіти (від Quantum Bit, qubit). Звичний біт – це класична система, у якої є тільки два можливі стани. Можна сказати, що простір станів біта – це множина з двох елементів, наприклад, з нуля і одиниці. Кубіт – це квантова система з двома можливими станами. Є ряд прикладів таких квантових систем: електрон, у якого спін може бути рівний або +1/2 або –1/2, атоми в кристалічних гратках за деяких умов. Але, оскільки система квантова, її простір станів буде незрівнянно багатшим. Математично кубіт – це двовимірний комплексний простір.

У такій системі можна виконувати унітарні перетворення простору станів системи. З погляду геометрії такі перетворення – прямий аналог обертань та симетрій звичайного тривимірного простору. Згідно з принципом суперпозиції ви можете додавати стани, віднімати їх, множити на комплексні числа. Ці стани утворюють фазові простори. При об’єднанні двох систем одержаний фазовий простір буде їх тензорним добутком. Еволюція системи у фазовому просторі описується унітарними перетвореннями фазового простору.

Так от, в квантовому комп’ютері аналогічна ситуація. Він теж працює з нулями і одиницями. Але його функціональні елементи реалізують дії прямо у фазовому просторі деякої квантової системи – за допомогою унітарних перетворень цього простору.

Звичайно, унітарні перетворення не можуть бути довільними – вони повинні задовольняти деякі природні обмеження. Наприклад, у разі звичної логіки достатньо мати три операції: кон’юнкцію, диз’юнкцію, заперечення. Все можна реалізувати, використовуючи тільки ці три операції. Так само і в квантовому випадку є деякий набір операторів, діючих тільки на три біти, за допомогою яких можна все реалізувати. Там є навіть тонші результати: можна обмежитися класичними операторами на декількох бітах, а квантові оператори діятимуть тільки на один біт. Тобто класичний набір операцій (кон’юнкція, диз’юнкція, заперечення) можна замінити на такий: (кон’юнкція, диз’юнкція, квантове заперечення), де квантове заперечення – це довільне унітарне перетворення одного кубіта.

Фазовий простір квантового комп’ютера (КК) є тензорний добуток кубітів. Якщо в кожному кубіті зафіксовано базис (він складатиметься із двох векторів), то фазовий простір – це комплексний лінійний простір, базис якого індексований словами з нулів і одиниць. У такий спосіб двійкове слово на вході визначає базисний вектор.

Отже, вхід – двійкове слово, що визначає один з базисних векторів. Сам же алгоритм – наперед вказана послідовність елементарних операторів. Застосовуємо цю послідовність до вектора на вході, в результаті одержуємо деякий вектор на виході.

Так от, згідно з квантовою механікою (КМ), поки система еволюціонує під дією наших унітарних операторів, ми не можемо сказати, в якому саме класичному стані вона знаходиться. Тобто вона знаходиться в якомусь квантовому стані, але вимірюємо ми, коли спілкуємося із системою, все одно якісь класичні значення. Як це розуміється в КМ? У фазовому просторі фіксується деякий базис, і вектор стану розкладається за цим базисом. Це математична формалізація процедури вимірювання в КМ. Тобто якщо ми маємо справу із системою, у якої «чи то спін вліво, чи то спін вправо», і якщо ми все-таки подивимося, який спін, то ми одержимо один з двох. А ось вірогідність того, що ми одержимо той або інший результат, – це якраз квадрати модуля коефіцієнтів розкладання. КМ стверджує, що точно передбачити результат вимірювання не можна, але вірогідність можливих результатів обчислити можна.

Вірогідність виникає в процесі вимірювання. А поки система існує, для нас важливо, що там є сам цей вектор.

Іншими словами, важливо, що система «знаходиться одночасно у всіх можливих станах». Як пишуть багато авторів популярних введень в KB, виникає абсолютно жахливий паралелізм обчислень: наприклад, у разі нашої системи з двох кубітів ми як би оперуємо одночасно зі всіма можливими її станами: 00, 01, 11, 10.

Щоб інтерпретувати відповідь, треба наперед домовитися, що якийсь біт – допустимий, перший – це біт відповіді. Нехай алгоритм пропрацював, у нас вийшов якийсь вектор, не обов’язково базисний. Тоді ми можемо сказати, що перший біт з деякою вірогідністю рівний 1. І вимога до алгоритму така: якщо відповідь «так», то вірогідність того, що перший біт рівний 1, повинна бути більше двох третин. А якщо відповідь «ні», вірогідність того, що буде нуль, повинна бути теж більше двох третин.

Добавить комментарий

Your email address will not be published.

Default thumbnail
Previous Story

Типи квантових комп’ютерів

Default thumbnail
Next Story

Задачі, які можна реалізувати на квантових обчисленнях

Latest from Квантовий комп’ютер