Системи числення

Системою числення (СЧ) називають систему правил, які дозволяють встановити взаємно однозначну відповідність між будь-яким числом та його подання у вигляді сукупності кінцевої кількості символів. Множина символів, які використовуються для такого подання називається цифрами. Розрізняють позиційні і не позиційні СЧ. У непозиційних СЧ будь-яке число визначається, як деяка функція від числових значень сукупності цифр, які представляють це число. Якщо в якості цієї функції використовується функція додавання, то СЧ називають адитивною (від add), якщо функція множення, то СЧ називають мультиплікативною. Цифри у непозиційних СЧ відповідають деяким фіксованим числам.

Приклади:

римська СЧ непозиційна – використовується на циферблатах годинників.

Римська СЧ і одинична (унітарна СЧ).

Недоліки не позиційних СЧ:

а)складні алгоритми подання чисел;

б)громіздкі алгоритми арифметичних операцій.

СЧ називають позиційною, якщо одна і та сама цифра може приймати різні числові значення в залежності від номеру місця розташування (розряду) цієї цифри у сукупності цифр. Позиційні СЧ поділяють на однорідні і змішані. В однорідній СЧ в усіх розрядах числа використовують цифри з однієї множини.

Приклади: двійкова і десяткова СЧ.

У змішаних СЧ множини цифр різні для різних розрядів.

Приклади: СЧ для виміру кутів і дуг, часу; СЧ англійських грошових одиниць, довжини, ваги тощо.

Позиційною СЧ з безпосереднім поданням чисел називають СЧ в якій для кожної цифри існує певний символ.

Приклад: двійкова і десяткова СЧ.

У позиційних СЧ з кодованим поданням чисел кількість символів менша ніж кількість цифр, а кожна цифра кодується певною комбінацією з декількох символів.

Приклад: у змішаних СЧ для виміру кутів і дуг, кожна цифра розряду градусів кодується трьома десятковими символами (0-360 градусів), а у розрядах хвилин і секунд – двома десятковими цифрами (0-60).

Найбільше розповсюдження у цифровій обчислювальній техніці отримали позиційну однорідні СЧ з безпосереднім поданням чисел вигляду

(1)

де p – основа системи числення (p=2,3,…);

x_i – цифра і-го розряду подання числа x_iє{0,…,р-1}

Величина pⁱ називають вагою і-го розряду . Оскільки значення р відомо, то вираз (1) записують у компактній формі

(2)

де «,» відділяє цілу частину від дробової.

СЧ з натуральним порядком ваг називають СЧ в якій значення цифри і-го розряду в р раз більше значення такої-же цифри в (і-1)-му розряді (і=-m, n(вектор)(і=-m,…,n)). Для СЧ із штучним порядком ваг вказане співвідношення однакових цифр у сусідніх розрядах не є обов’язковим. Вирази (1) і (2) характерні для СЧ з натуральним порядком ваг.

Максимальне число

(3)

Мінімальне число (яке відмінне від нуля) дорівнює

(4)

Кількість різних чисел які можна подати у формі 1 або 2 дорівнює

(5)

Для подання m різних чисел в СЧ з основою p необхідна кількість розрядів яка є не меншою ніж

(6)

де [a] округлення у бік більшого числа, якщо а – дріб.

Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді

(7)

де ρ – значення розряду знака числа зазвичай приймають

β={0 для X>=0} (8)

β={1 для Χ<=0} (8)

Переваги позиційних СЧ:

а) зручність подання чисел;

б) простота виконання арифметичних операцій.

Недолік позиційних СЧ – неможливість виконання арифметичних операцій, як порозрядних.

Порозрядною операцією називають операцію, результат якої у будь-якому розряді не залежить від результату інших розрядів.

Приклад СЧ з порозрядним виконанням арифметичних операцій – СЧ залишкових (сок – система остаточных классов).