Теорія ідеального магнітного підсилювача

Теоретично магнітний підсилювач можна розглядати як змінну індуктивність, величина якої залежить від струму управління. У зв’язку з нелінійністю кривої намагнічування змінний струм, що протікає вздовж робочої обмотки, містить вищі гармоніки. Розрахунки для кіл з такими струмами дуже складні. Тому для математичного аналізу роботи магнітного підсилювача роблять різноманітні спрощення (припущення), що не вносять суттєвих похибок, але дозволяють одержати порівняно прості методи розрахунку.

Найбільшого поширення набула теорія ідеального магнітного підсилювача. Ця теорія заснована на припущенні, що осердя має ідеальну криву намагнічування (рис.2.1.16). У порівнянні з реальною, ця крива має такі особливості:

1) на ділянці від В=0 до В=В_S­, магнітна проникність дорівнює нескінченності ;

2) в області насичення магнітна проникність дорівнює нулю;

3) площа петлі гістерезису дорівнює нулю.

На підставі теорії ідеального магнітного підсилювача можна отримати уявлення про форму кривих індукції, ЕРС, напруги і струму. А головне – ця теорія дає прості формули для основних параметрів підсилювача.

Розглянемо роботу ідеального магнітного підсилювача при послідовному з’єднанні робочої обмотки з навантаженням і вихідним постійним струмом (див. рис. 2.1.13, а). Будемо вважати, що і робоча обмотка, і обмотка управління складаються з двох секцій, розташованих відповідно на двох осердях. Секції обмотки управління під’єднані назустріч. Число витків робочої обмотки – w_р, секцій обмотки управління – w_у.

Нехай прикладена до робочої обмотки напруга змінюється за синусоїдальним законом u=U_msinwt. В секціях обмотки управління наводяться ЕРС, сума яких має дорівнювати нулю. Якщо знехтувати опором кола управління, то рівняння ЕРС має вигляд :

, (2.1.23)

де е_у1 і е_у2 – це ЕРС, які індукуються у першому і другому осердях змінним магнітним потоком, що створюється секціями робочої обмотки; В₁ і В₂ – миттєві значення індукції в першому і другому осердях із поперечним перетином s. Звідси

. (2.1.24)

Інтегруючи цю рівність, при наявності струму управління отримаємо :

, (2.1.25)

де 2В₀ – постійна інтегрування, що дорівнює подвоєному значенню складової індукції в кожному осерді від струму управління.

З рівнянь (2.1.23) і (2.1.25) очевидним є те, що індукції в обох осердях змінюються в часі за одним законом і відрізняються одна від одної на постійну величину 2В₀. Тому і ЕРС, що індукуються у секціях робочої обмотки, будуть рівні:

, (2.1.26 )

де .

Розглянемо режим роботи підсилювача, коли підмагнічування відсутнє, тобто І_у=0. Якщо при напрузі, прикладеній до робочої обмотки, обидва осердя знаходяться у ненасиченому стані, тобто |В₁|<|B_s| і |В₂|<B_s, то магнітна проникність осердь дорівнює нескінченності, а отже, і індуктивний опір робочої обмотки дорівнює нескінченності. У цьому випадку струм у колі робочої обмотки дорівнює нулю і ЕРС самоіндукції секцій робочої обмотки дорівнює напрузі джерела живлення і спрямована їй назустріч:

. (2.1.27)

У відповідності з рівністю (2.1.26), напруга живлення розподілиться порівну між секціями робочої обмотки:

, (2.1.28)

або, підставляючи значення ЕРС е_p1 і е_p2,

, (2.1.29)

Проінтегрувавши (2.1.29), одержимо закон зміни індукції:

, (2.1.30)

або , де .

На рис. 2.1.17 показані графіки зміни напруги, прикладеної до робочої обмотки (рис.2.1.17, а), і індукції при відсутності підмагнічування (пунктирна лінія на рис.2.1.17, б).

Тепер розглянемо режим роботи при наявності підмагнічування, тобто коли вздовж обмотки управління протікає струм. Цей постійний струм створює постійне магнітне поле, індукція якого дорівнює В₀. В одному осерді магнітні потоки, зумовлені постійним і змінним струмами, будуть додаватись, а в іншому – відніматися, внаслідок чого значення індукції в осердях будуть відрізнятися на величину 2В₀. В результаті крива індукції в одному осерді піде вище, а в іншому – нижче (відповідно В₁ і В₂, на рис. 2.1.17, б ).

Нехай у початковий момент подачі струму управління ( t = 0 ) індукція В₂ = -В_S . В цьому випадку індукція В₁ має деяке початкове значення 2В₀-В_S. Із зростанням напруги живлення індукція В₁ збільшується і при wt =a_нас досягає значення насичення. За цей же час із такою ж швидкістю згідно з рівнянням (2.1.24) зменшується за абсолютною величиною індукція В₂ від свого початкового значення –В_S.

Закон зміни індукції в осердях за час від wt = 0 до wt=a_нас одержимо, інтегруючи рівняння (2.1.29):

(2.1.31)

Індукція В₁, що досягла величини насичення, надалі якийсь час залишається постійною. З рівняння (2.1.24) можна зробити висновок, що якщо в одному осерді індукція постійна, то в іншому осерді в той же проміжок часу індукція також буде постійною. Ця умова виконується навіть у тому випадку, якщо це інше осердя ненасичене. Тому якщо з моменту ωt=a_нас індукції в осердях не змінюються, то ЕРС самоіндукції в секціях робочої обмотки дорівнюють нулю і вся напруга живлення виявляється прикладеною до навантаження.

Струм у навантаженні стрибком досягає найбільшого значення І=U/R, де R – активний опір робочого кола. Таким чином, від ωt=0 до моменту насичення першого осердя при ωt=a_нас вся напруга мережі прикладена до робочої обмотки, а іншу частину півперіоду від a_нас до ωt= p – до навантаження (рис.2.1.17, а).

У наступний напівперіод цей процес повторюється з тією різницею, що осердя міняються ролями. Таким чином, в інтервалі управління (від 0 до a_нас) обидва осердя ненасичені, а в інтервалі насичення ( від a_нас до p) одне з них насичене, що призводить до сталості потоку і в іншому осерді.

На рис. 2.1.17, г показана крива струму в робочій обмотці, а на рис.2.1.17, в – у навантаженні. Спільний розгляд графіків на рис. 2.1.17, б, в, г, показує, що напруга на навантаженні при куті насичення a_нас стрибком досягає найбільшого значення і потім змінюється за синусоїдальним законом. Кут a_нас визначається постійною індукцією В₀, тобто сигналом U_у. Якщо сигнал U_у=0, то В₀=0, а кут a_нас= p, отже, струм у навантаженні дорівнює 0. З ростом сигналу U_у зростає В₀, а кут a_нас зменшується і струм у навантаженні росте.

Режим роботи магнітного підсилювача нагадує роботу тиратрона з фазовим управлінням, де кут a_нас є кутом запалювання тиратрона. Тому кут a_нас у теорії магнітних підсилювачів (за аналогією з тиратронними колами ) також називають кутом запалювання або регулювання. Ідеальний магнітний підсилювач діє як перемикач, що періодично підключає навантаження до джерела живлення в моменти, фіксовані щодо початку півперіоду напруги живлення і обумовлені значенням сигналу управління.

Визначимо рівняння статичної характеристики вхід-вихід для ідеального магнітного підсилювача.

З ідеальної кривої намагнічування (див. рис. 2.1.1, б) видно, що для ненасиченого осердя Н = 0. Вище було встановлено, що осердя підсилювача насичуються по черзі, причому в кожний півперіод одне з осердь ненасичене. У першому півперіоді (рис.2.1.17) ненасичене друге осердя і для нього справедлива рівність

, (2.1.32)

де l – середня довжина шляху магнітного потоку.

В другому півперіоді ненасиченим залишається перше осердя і для нього справедлива ця ж рівність. Тому миттєві значення струмів у робочій обмотці та обмотці управління в будь-який момент часу пов’язані співвідношенням

. (2.1.33 )

Зміна струму управління i_у відбувається з частотою, що удвічі більша частоти живлення (рис.2.1.17, д). Цей струм містить крім змінної і постійну складову. Змінна складова є наслідком трансформації струму з кола навантаження відповідно до співвідношення (2.1.33) вона має основну частоту 2f = ω/p. Постійна складова I_у (середнє значення струму) не може з’являтися внаслідок трансформації, вона обумовлена сигналом управління і чисельно дорівнює струмові сигналу І_у (рис.2.1.17, д). Оскільки формула (2.1.33) справедлива для миттєвих значень струму протягом всього півперіоду, то аналогічна рівність буде справедлива і для середніх значень струмів навантаження і управління

, (2.1.34)

або Н_сер=Н_у, де Н_сер – середнє (за половину періоду ) значення напруженості магнітного поля від струму навантаження. Отримана рівність є основним рівнянням ідеального магнітного підсилювача і за ним будується статична характеристика I_н = f(I_у), показана на рис. 2.1.18 (крива 1). Максимально можливого значення струм досягає при a_нас=0, коли постійно насичені обидва осердя одночасно. У цьому випадку рівність (2.1.34) втрачає свою силу. Максимальна величина постійної складової струму навантаження в цьому випадку

, (2.1.35)

де U_серmax – максимальна величина постійної складової випрямленої напруги; R = R_н+R_р – активний опір робочого кола, що складається з опору навантаження R_н та опору робочої обмотки R_р.

При розгляданні роботи ідеального магнітного підсилювача не враховувався опір випрямляча R_B , що трохи зменшує значення струму навантаження.

З формули (2.1.34) можна визначити значення коефіцієнтів підсилення магнітного підсилювача:

за струмом

;

за напругою

;

за потужністю

.

З останньої формули випливає, що чим більше число витків обмотки управління при заданому опорі R_у цієї обмотки, тим більший коефіцієнт підсилення за потужністю.

Якщо підсилювач виконаний без випрямляча на виході, тобто в навантаженні протікає змінний струм, то в цьому випадку за вихідний сигнал приймають діюче значення струму навантаження

, (2.1.36)

де k_ф – коефіцієнт форми кривої струму навантаження.

Відповідно коефіцієнти підсилення будуть дорівнювати

.

Статична характеристика підсилювача без випрямляча показана на рис.2.1.18 (крива 2). Нелінійність характеристики пояснюється тим, що коефіцієнт форми залежить від a_нас. При a_нас = 0 маємо k_ф= 1,11, а з ростом a_нас коефіцієнт форми збільшується.

Якщо в навантаженні змінного струму є індуктивність, то вона згладжує криву струму і викликає запізнювання струму щодо напруги.

Отримане вище основне рівняння (2.1.34) ідеального магнітного підсилювача з послідовним з’єднанням секцій робочої обмотки справедливе і для паралельного з’єднання. У цьому випадку також відбувається почергове насичення осердь. Однак парні гармоніки в колі управління відсутні, проте вони протікають у контурі робочої обмотки. Тому що через секцію робочої обмотки кожного осердя проходить половина струму навантаження, рівняння статичної характеристики має вигляд

. (2.1.37)

Відповідно змінюється вираз для коефіцієнтів підсилення.

Зміна напруги на навантаженні магнітного підсилювача відстає від зміни вхідного сигналу U_у, тобто підсилювач має деяку інерційність. Інерційність магнітного підсилювача визначається перехідним процесом у колі керування, вихровими струмами і втратами на гістерезис в осердях, перехідним процесом у колі змінного струму.

Вихрові струми і втрати на гістерезис викликають відставання постійної складової індукції від напруженості поля підмагнічування. Проте застосування для осердь тонких листів із залізонікелевих сплавів дозволяє зводити втрати на гістерезис і вихрові струми практично до нуля. Тому в більшості випадків уповільненням процесу, викликаним вихровими струмами і гістерезисом, можна знехтувати.

У більшості магнітних підсилювачів час перехідного процесу в колі навантаження в багато разів менший за тривалість процесу в колі управління. Тому вважають, що інерційність всього підсилювача визначається тільки постійною часу кола керування. При подачі напруги на обмотку управління постійна складова струму не відразу досягає сталого значення.

Рівняння перехідного процесу в колі управління має вигляд :

, (2.1.38)

де y_у – потокозчеплення двох обмоток управління; R_у – повний опір кола управління.

Так як обмотки управління включені зустрічно, то

. (2.1.39)

На підставі формули (2.1.25) . Тоді

. (2.1.40)

На підставі теорії ідеального магнітного підсилювача, маємо

. (2.1.41)

З виразу для середнього робочого струму одержимо

, (2.1.42)

де .

На підставі (2.1.34)

. (2.1.43)

Підставивши значення U_m і І_сер у вираз (2.1.41), маємо

. (2.1.44)

Тоді рівняння для В₀ запишемо у вигляді

. (2.1.45)

Підставивши у вираз (2.1.40) значення В_0, одержимо рівняння перехідного процесу в колі управління :

, (2.1.46)

де – постійна часу кола управління,

що, як бачимо, залежить не тільки від параметрів самого кола управління, але і від параметрів робочого кола.

Якщо у виразі для Т_у замінити відношення витків через коефіцієнти підсилення, а відношення опорів – через ККД, то після нескладних перетворень постійну часу кола управління можна представити як

, (2.1.47)

де h = R_н/R – коефіцієнт корисної дії робочого кола магнітного підсилювача.

Для оцінки якості підсилювача в перехідному режимі вводиться поняття про його добротність. Добротність дорівнює відношенню коефіцієнта підсилення за потужністю до постійної часу, тобто

. (2.1.48)

Для підсилювача з вихідним змінним струмом

(2.1.49)

Таким чином, при h=const добротність не залежить від параметрів обмоток, навантаження і потужності і визначається тільки частотою напруги джерела живлення. З виразу (2.1.48) видно, що при заданих f і h збільшення коефіцієнта підсилення за потужністю викликає пропорційне зростання Т_у. Тому практично добротність підсилювача поліпшують підвищуючи частоту напруги живлення.

Постійну часу кола управління можна значно зменшити за рахунок зниження k_р. Проте це не дасть можливість безмежно зменшувати запізнювання підсилювача вцілому, тому що в цьому випадку необхідно враховувати запізнювання робочого кола змінного струму. Оскільки час перехідного процесу в робочому колі складає 0,5-1 періоду живлення, то тривалість перехідного процесу в підсилювачі вцілому не може бути меншою цього значення. При f = 50 Гц час перехідного процесу не може бути меншим 0,01-0,02 с. Отже, дійовим засобом зменшення інерційності магнітного підсилювача є підвищення частоти напруги живлення.

Якщо в підсилювачі крім обмоток управління і робочих є ще ряд обмоток, то кожна з них створює свій замкнений контур, що уповільнює зміну потоку управління. Підсумкова постійна часу приблизно дорівнює сумі постійних часу всіх обмоток управління і зсуву.

При розгляданні фізичних процесів в магнітних підсилювачах ми бачили, що робочі точки двох осердь в один і той самий момент часу знаходяться на різних ділянках кривої намагнічування. Коли одне осердя насичене, інше знаходиться в ненасиченому стані, і навпаки. При розрахунку підсилювача значно зручніше мати єдину еквівалентну криву намагнічування, на якій робоча точка була б спільною для обох осердь і цілком характеризувала роботу і стан підсилювача. Такою еквівалентною кривою є крива одночасного намагнічування матеріалу осердь постійним і змінним магнітними полями.

У розрахунковій практиці широко поширений графоаналітичний спосіб побудови статичних характеристик, заснований на теорії лінеаризованого магнітного підсилювача. При цьому використовуються експериментально зняті характеристики одночасного намагнічування матеріалу осердя змінним і постійним полями В = f (Н; Н_). Тут В і Н – індукція і напруженість змінного магнітного поля, а Н_ – напруженість постійного магнітного поля. Сімейство характеристик В = f (Н; Н_) наведена на рис.2.1.19. На форму кривих сімейства впливають не тільки матеріал осердя, але і наявність повітряних зазорів і полів розсіювання, частота мережі живлення, форма і розміри осердя, схема з’єднання обмоток w_р, величина опору кола управління. Всі зазначені чинники автоматично враховуються при експериментальному знятті сімейства кривих намагнічування. Тому не можна характеристики, зняті для одного типу осердя, використовувати при розрахунку підсилювача, що має інше осердя.

Сімейство кривих В = f (Н; Н_) будується за формулами

де Е_р – ЕРС у робочих обмотках, а відповідні струми і напруги визначаються за методом амперметра-вольтметра.

Формула для визначення індукції справедлива для синусоїдальних В і Е_р. Тому при її використанні ми здійснюємо лінеаризацію, переходячи до еквівалентних синусоїд ЕРС і струму в робочому колі.

Для підсилювача з вихідним постійним струмом використовуються характеристики В = f (Н_сер;Н_). Тут Н_сер визначається за середнім значенням робочого струму І_сер, а .

Розглянемо порядок побудови статичної характеристики лінеаризованого підсилювача з вихідним змінним струмом. Для кола змінного струму підсилювача, що складається з послідовно сполучених дроселя і активного навантаження, можна записати таке рівняння:

, (2.1.50)

де R = _­R_н+R_p.

При послідовному з’єднанні обмоток w_р маємо

.

Підставивши значення І та Е_р у вираз (2.1.50), одержимо рівняння еліпса

(2.1.51)

де – напівосі еліпса.

Рівняння (2.1.51) зв’язує змінні В і Н. Ці самі величини пов’язані і характеристиками намагнічування В = f (Н; Н_).

Спільний графічний розв’язок рівнянь еліпса і сімейство характеристик намагнічування дозволяє одержати при відомих параметрах навантаження і напрузі живлення статичну характеристику підсилювача.

За відомими значеннями будуємо на сімействі характеристик намагнічування еліпс, вісі якого збігаються з осями координат (рис. 2.1.20, а). Точки перетину еліпса з кривими Н_= const визначають у відповідній сис-темі координат характеристику підсилювача Н = f (Н_), яка

може бути легко перерахована в характеристику І _н = f (І _у).

При комплексному навантаженні на додаток до еліпса з початку координат проводимо промінь ON під кутом a до осі абсцис:

, (2.1.52)

де Х_н – реактивний опір навантаження.

Віднімаючи від ординат еліпса ординати прямої ОN, одержимо криву, показану на рис. 2.1.20, а пунктиром. Точки перетину цієї кривої із характеристиками намагнічування визначають залежність В = f (Н_) для індуктивного навантаження. При ємнісному навантаженні ординати еліпса і прямої ON додаються.

Розглянутий спосіб побудови статичної характеристики підсилювача дозволяє зручно виявити вплив різноманітних чинників на характеристику «вхід-вихід». Для цього необхідно визначити, використовуючи формулу (2.1.51), як впливає параметр, що розглядається, на розміри напівосей еліпса В₀¢ і Н_к¢. Наприклад, при підвищенні напруги напівосі еліпса зростають. Зсув точок, що визначають струм холостого ходу, показує, що зі збільшенням напруги він також зростає.

Вплив різноманітних параметрів показаних на рис . 2.1.20 , б , в , г. З рисунка видно, що збільшення частоти живлення майже не позначається на характеристиці підсилювача. Зростання опору навантаження призводить до зниження коефіцієнта кратності струму в навантаженні.

Васюра А.С. – книга “Елементи та пристрої систем управління автоматики”