Теорема Остроградського – Гауса

Визначимо потік напруженості поля електричних зарядів q₁, q₂, q₂, … q_n крізь деяку замкнуту поверхню, яка оточує ці заряди (Рис 1). Будемо вважати потік від’ємним, якщо він направлений всередину поверхні; в іншому випадку будемо вважати його додатнім.

Розглянемо спочатку випадок сферичної поверхні радіусом R, що оточує один заряд q, що знаходиться в центрі (Рис 2). Напруженість поля на всій сфері однакова і рівна

Силові лінії направлені по радіусах, тобто перпендикулярно до поверхні сфери, тоді потік напруженості N розрахуємо за формулою:

(1)

де S=4πR² – площа сферичної поверхні.

Оточимо тепер сферу довільною замкнутою поверхнею. Як видно на рис. 2, кожна силова лінія, що пронизує цю сферу, пронизить і цю поверхню. Відповідно, формула (1) справедлива не тільки для сфери, а й для будь-якої замкнутої поверхні.

Рис 1

Рис 2

Тепер повернемося до загального випадку довільної поверхні, яка оточує n зарядів (Рис 1). Очевидно, що потік напруженості через поверхню рівний сумі потоків, створюваних кожним із зарядів: ;

або остаточно

Отже, потік напруженості, пронизуючий будь-яку замкнену поверхню, яка оточує електричні заряди, пропорційний алгебраїчній сумі оточених зарядів.

Це положення називається теоремою Остроградського – Гауса