Властивості перетворення Лапласа

Главная » Каталог статей » Статьи на украинском » Вища математика » Властивості перетворення Лапласа

Нехай задана функція clip_image002, де t — дійсна її змінна.

Тоді перетворенням Лапласа називається інтеграл: clip_image004. (1)

Тобто, коли у відповідь функції f(t) ставиться функція F(p), де: clip_image006,

clip_image002[1] – оригінал, clip_image009 – зображення (при виконанні умови збіжності інтегралу).

Позначення перетворення Лапласа: clip_image011.

Не всяка функція може бути оригіналом. Достатньою умовою для того, щоб функція вважалась оригіналом може бути:

1) clip_image013, якщо clip_image015,

clip_image002[2]; якщо clip_image018.

2) clip_image002[3] повинна мати гладку форму, тобто, бети диференційованою.

3) clip_image002[4] має зростати не швидше, ніж показникові функція.

Тобто, при існуванні двох чисел S та C повинна виконуватись така нерівність:

clip_image021.

Найменші значення чисел f позначаються d0.

Справедлива така теорема: якщо f(t) — функція-оригінал з індексом розпаду d0, то інтеграл (1) буде рівним: clip_image023.

Властивості перетворення Лапласа.

Властивість 1: Лінійність.

clip_image025, clip_image027, тому clip_image029.

Властивість 2: Диференціювання оригіналу.

clip_image031, clip_image033,

clip_image035.

Властивість 3: Подібність.

clip_image025[1], clip_image038.

Властивість 4: Інтегрування оригіналу.

clip_image025[2], clip_image041.

Властивість 5: Теорема зміщення. clip_image043.

Властивість 6: Диференціювання зображення.

clip_image025[3], clip_image046.

Узагальнено: clip_image048.

Властивість 7: Інтегрування зображення.

clip_image050

Властивість 8: Теорема запізнення. Якщо clip_image025[4], то clip_image052, clip_image054.

Властивість 9: Зображення періодичного оригіналу.

Якщо clip_image025[5] на clip_image056; clip_image058, де Т- період, к – натуральне число, то

clip_image060.

Оставьте комментарий к статье