Лінійні диференційні рівняння

Главная » Каталог статей » Статьи на украинском » Вища математика » Лінійні диференційні рівняння

Диференційним рівнянням n-го порядку називається рівняння виду

clip_image002

Розв’язком диф. рівняння називається функція y(x), яка при підстановці в рівняння перетворює його у тотожність. Загальним розв’язком Д.Р. називають сукупність усіх його розв’язків.

Д.Р. 1-го порядку називається лінійним, якщо його можна перетворити до вигляду

clip_image004,

де p(x), q(x) – неперервні функції.

Лінійність для Д.Р. означає, що невідома функція у та її похідна входять у рівняння в першій степені, тобто лінійно.

Для розв’язання таких рівнянь існує два методи:

- метод варіації довільної сталої;

- метод Бернуллі.

Розглянемо дане рівняння за методом Бернуллі. Будемо шукати розв’язок у вигляді добутку 2-х функцій clip_image006. Ці функції потрібно підібрати так, щоб внаслідок підстановки у дане Д.Р. воно перетворювалось на тотожність. Використаємо підстановку:

clip_image008

Другий і третій доданки згрупуємо, тоді маємо

clip_image010

З метою знайти окремо функцію V(x), а потім U(x) накладемо умову:

clip_image012

Від одного Д.Р. з двома невідомими функціями U, V ми перейшли до системи двох Д.Р. (1) – відносно V, (2) – відносно U після підстановки V .

(1): clip_image014. Отже можна відокремити зміну.

clip_image016 – помножимо вираз на dx та поділимо на V, що не дорівнює 0. Отже, маємо

clip_image018 — проінтегруємо даний вираз:

clip_image020 та отримаємо: clip_image022

clip_image024

(2): U1 V=q(x)

clip_image026 – помножимо вираз на eP(x)

clip_image028

clip_image030 – помножимо вираз на dx

clip_image032 - проінтегруємо вираз

clip_image034

clip_image036 – загальний розв’язок лінійного Д.Р. 1-го прядку

Оставьте комментарий к статье