Диференціал функції

Нехай функція clip_image002 диференційовна на відрізку [a,b]. Похідна цієї функції в деякій точці х відрізка [a,b] визначається рівністю: clip_image004. Відношення clip_image006 при clip_image008 прямує до clip_image010 на бескінечно малу величину: clip_image012, де clip_image014 при clip_image008[1]. Домножимо всі члени останнього рівняння на clip_image017, отримаємо: clip_image019. Оскільки в загальному випадку clip_image021, то при постійній х і зміннійclip_image008[2] похідна clip_image024 є бескінечно малою величино першого порядку відносно clip_image017[1]. Похідна clip_image026 є бескінечно малою величино вищого порядку відносно clip_image017[2], оскільки clip_image028. Таким чином, приріст clip_image030 функції складається з двох складових, з яких перша складова це головна частина приросту, що лінійна відносно clip_image017[3]. Похідну clip_image024[1] називають диференціалом функції і позначають clip_image034 або clip_image036.

Таким чином, якщо функція clip_image002[1]має похідну clip_image010[1] в точці х, то похідна похідної clip_image010[2] на приріст clip_image017[4] аргумента називається диференціалом функції: clip_image042.

Геометричний та фізичний зміст диференціалу

clip_image044

Нехай функція clip_image046, яка у точці х0 має похідну, наближено замінимо на лінійну функцію поблизу точки х0. З усіх прямих ліній, які проходять через точку М лише дотична має найменшие відхилення від даної функції. Отримаємо функцію із рівняння дотичної: clip_image048, clip_image050, clip_image052.

З геометричної точки зору: clip_image054; з рис. clip_image056, clip_image058. Отже, диференціал дорівнює приросту ординати дотичної, що відповідає приросту аргумента clip_image017[5]. В основі введення поняття диференціалу з геометричної точки зору лежить ідея наближеної заміни криволінійних геометричних об’єктів відповідними прямолінійними об’єктами.

З фізичної точки зору: нехай функція clip_image060 задає закон руху матеріальної точки. Який шлях проходить точка за проміжок часу clip_image062. Якщо clip_image064, то clip_image066. В данному випадку диференціал – це час, який прошла дана матеріальна точка, якби вона рухалась рівномірно з швидкістю clip_image068. В основі введення поняття диференціалу з фізичної точки зору лежить ідея наближеної заміни нерівномірного процесу рівномірним.

Оставьте комментарий к статье