Числові ряди

Числовим рядом називається новоутворення, яке записується у вигляді

clip_image002

Елемент an називається загальний член ряду, або загальний елемент ряду.

Нехай Sn=a1+…+ann-на часткова сума ряду. Розглянемо послідовність n-них часткових сум: S1 ,S2 ,…,Sn,..

Сумою ряда називається границя послідовності його часткових сум, якщо ця границя існує: clip_image004

th 1: (Необхідна умова збіжності ряду)

Якщо даний ряд збігається, то його загальний член прямує до 0, коли clip_image006

clip_image008 – збігається, отже clip_image010

Наслідок: (Достатня умова розбіжності ряду)

Якщо загальний член ряду не прямує до 0, коли clip_image006[1], то ряд збігається.

clip_image012clip_image008[1] — розбіжний.

th 2: Для того, щоб даний ряд збігався необхідно і достатньо, щоб його залишок clip_image015, коли clip_image006[2]:

clip_image017.

Розглянемо два збіжних ряди :

clip_image019 та clip_image021

Властивість 1: Збіжний ряд можна почленно множити на будь-яку константу. При цьому збіжність не порушується, а сума множиться на дану константу

clip_image023.

Властивість 2: Збіжні ряди можна почленно додавати або віднімати. Збіжність не порушується. Суми рядів відповідно додаються, або віднімаються.

clip_image025

Властивість 3: Збіжність ряду не порушується якщо від цього ряду відкинути або до цього ряду додати будь-яку скінчену кількість доданків.

Степеневі ряди:

Функціональний ряд називається степеневим, якщо його загальний член є степеневою функцією виду: 1) Un(x)=cnxn; 2)Un(x)= cn (x-x0)n

Область збіжності степеневого ряду є множина таких чисел, що –R<x<R, clip_image027 clip_image029

Ряд Тейлора:

Розглянемо функцію f(x), яка в околі т. х=х0 має похідні усіх порядків. Припустимо, що дану функцію можна записати у вигляді суми степеневого ряду:

f(x)=c0+c1(x-x0)+ c2(x-x0)2+..+ cn(x-x0)n

В околі точки х0, знайшовши коефіцієнти ряду отримаємо:

clip_image031

Областю абсолютної збіжності даного ряду є уся числова вісь.

Ряди Фур’є:

Для вивчення властивостей періодичних функцій зручно їх подавати у вигляді суми ряду, складеної з тригонометричних функцій.

clip_image033

Оставьте комментарий к статье