Математичні основи функціонування квантових комп’ютерів

Главная » Каталог статей » Статьи на украинском » Квантовий комп’ютер » Математичні основи функціонування квантових комп’ютерів

3433

Класичний комп’ютер складається, грубо кажучи, із деякого числа бітів, з якими можна виконувати арифметичні операції. Основним елементом квантового комп’ютера (КК) є квантові біти, або кубіти (від Quantum Bit, qubit). Звичний біт — це класична система, у якої є тільки два можливі стани. Можна сказати, що простір станів біта — це множина з двох елементів, наприклад, з нуля і одиниці. Кубіт — це квантова система з двома можливими станами. Є ряд прикладів таких квантових систем: електрон, у якого спін може бути рівний або +1/2 або –1/2, атоми в кристалічних гратках за деяких умов. Але, оскільки система квантова, її простір станів буде незрівнянно багатшим. Математично кубіт - це двовимірний комплексний простір.

У такій системі можна виконувати унітарні перетворення простору станів системи. З погляду геометрії такі перетворення — прямий аналог обертань та симетрій звичайного тривимірного простору. Згідно з принципом суперпозиції ви можете додавати стани, віднімати їх, множити на комплексні числа. Ці стани утворюють фазові простори. При об’єднанні двох систем одержаний фазовий простір буде їх тензорним добутком. Еволюція системи у фазовому просторі описується унітарними перетвореннями фазового простору.

Так от, в квантовому комп’ютері аналогічна ситуація. Він теж працює з нулями і одиницями. Але його функціональні елементи реалізують дії прямо у фазовому просторі деякої квантової системи — за допомогою унітарних перетворень цього простору.

Звичайно, унітарні перетворення не можуть бути довільними — вони повинні задовольняти деякі природні обмеження. Наприклад, у разі звичної логіки достатньо мати три операції: кон’юнкцію, диз’юнкцію, заперечення. Все можна реалізувати, використовуючи тільки ці три операції. Так само і в квантовому випадку є деякий набір операторів, діючих тільки на три біти, за допомогою яких можна все реалізувати. Там є навіть тонші результати: можна обмежитися класичними операторами на декількох бітах, а квантові оператори діятимуть тільки на один біт. Тобто класичний набір операцій (кон’юнкція, диз’юнкція, заперечення) можна замінити на такий: (кон’юнкція, диз’юнкція, квантове заперечення), де квантове заперечення — це довільне унітарне перетворення одного кубіта.

Фазовий простір квантового комп’ютера (КК) є тензорний добуток кубітів. Якщо в кожному кубіті зафіксовано базис (він складатиметься із двох векторів), то фазовий простір — це комплексний лінійний простір, базис якого індексований словами з нулів і одиниць. У такий спосіб двійкове слово на вході визначає базисний вектор.

Отже, вхід — двійкове слово, що визначає один з базисних векторів. Сам же алгоритм – наперед вказана послідовність елементарних операторів. Застосовуємо цю послідовність до вектора на вході, в результаті одержуємо деякий вектор на виході.

Так от, згідно з квантовою механікою (КМ), поки система еволюціонує під дією наших унітарних операторів, ми не можемо сказати, в якому саме класичному стані вона знаходиться. Тобто вона знаходиться в якомусь квантовому стані, але вимірюємо ми, коли спілкуємося із системою, все одно якісь класичні значення. Як це розуміється в КМ? У фазовому просторі фіксується деякий базис, і вектор стану розкладається за цим базисом. Це математична формалізація процедури вимірювання в КМ. Тобто якщо ми маємо справу із системою, у якої «чи то спін вліво, чи то спін вправо», і якщо ми все-таки подивимося, який спін, то ми одержимо один з двох. А ось вірогідність того, що ми одержимо той або інший результат, — це якраз квадрати модуля коефіцієнтів розкладання. КМ стверджує, що точно передбачити результат вимірювання не можна, але вірогідність можливих результатів обчислити можна.

Вірогідність виникає в процесі вимірювання. А поки система існує, для нас важливо, що там є сам цей вектор.

Іншими словами, важливо, що система «знаходиться одночасно у всіх можливих станах». Як пишуть багато авторів популярних введень в KB, виникає абсолютно жахливий паралелізм обчислень: наприклад, у разі нашої системи з двох кубітів ми як би оперуємо одночасно зі всіма можливими її станами: 00, 01, 11, 10.

Щоб інтерпретувати відповідь, треба наперед домовитися, що якийсь біт — допустимий, перший — це біт відповіді. Нехай алгоритм пропрацював, у нас вийшов якийсь вектор, не обов’язково базисний. Тоді ми можемо сказати, що перший біт з деякою вірогідністю рівний 1. І вимога до алгоритму така: якщо відповідь «так», то вірогідність того, що перший біт рівний 1, повинна бути більше двох третин. А якщо відповідь «ні», вірогідність того, що буде нуль, повинна бути теж більше двох третин.

Оставьте комментарий к статье