Синтез голограм

Опишемо метод. Припустимо, що об’єкт який освітлюється лазерним променем, можливо описати обмеженим набором точок, які розсіюють світло. Якщо ввести в обчислювальну машину координати цих точок разом з параметрами, які характеризують довжину хвилі та напрямок розповсюдження освітлюючої предмет та опорної хвиль, то можливо розрахувати розподіл амплітудного пропускання в утвореній голограмі. Ця інформація може бути записана в пам’яті обчислювальної машини та відображена на вихідному графічному пристрої — друкувальному або електронно-променевій трубкі, що дає збільшене зображення голограми. Збільшення необхідне із-за недостатньої роздільної здатності друкувального або відображаючого пристроїв. Цей запис зменшується оптичним шляхом до розмірів які відповідають довжині хвилі, яку використовували при розрахунках та реєструється фотографічним методом у вигляді транспаранту. Коли отриману таким чином голограму освітлюють лазерним променем, відновлюється зображення об’єкту. Очевидно. Що можливо розрахувати голограми предметів, які реально не існують, оскільки вимагається математичне представлення предмету.

Машинні методи, які будь розглянуті. Синтезують фур’є-голограми. Для цього обчислювальна машана повинна розрахувати велику кількість відрахунків двохвимірного фур’є-образу предмету. Кожний відрахунок складається із значення амплітуди та фази фур’є-образу в визначеній точці. Використаємо спрощення, які передбачається в багатьох методах машинного синтезу голограм, а саме значення амплітудного пропускання в довільній точці вважають рівною одиніці або нолю. Такі «двохтонові» голограми називають бінарними.

Існує можливість розрахувати обмежену кількість відрахунків (дискретних значень) неперервної функції, наприклад фур’є-образу функції і по цим відрахункам точно відновити всю неперервну функцію. В відповідності з теоремою відрахунків, якщо неперервна функція f(x) має обмежену полосу, тобто спектр її має значення, відмінне від ноля, тільки в обможеному діапазоні частот, і якщо відрахунки f(x) проводяться не менше ніж двічі в любому інтервалі Dx, рівному періоду найвищої просторово-частотної складової f(x), тоді функція f(x) може бути точно відновлено з дискретних відрахунків. Припустимо, що ми проводимо відрахунок функції a(x) регулярно в послідовності точок, які віддалені на відстань Dx одиниць (Рис.1). Очевидно, що математичним представленням операції відрахунку є добуток

clip_image002

Рисунок 1. Неперервна функція а(х) і функція відрахунків аS(х).

неперервної функції а(х) на функцію clip_image004. Виразимо відрахункову функцію аS (х):

clip_image006. (1)

кожний відрахунок функції а(х) в формулі (1) представляє d-функцію, сила якої визначається значенням а(х) в точкі, яка відповідає даній d-функції. На рисунку 1 d-функції показані у вигляді стрілок, довжини яких пропорційні їх силам. Для синтезу голограм на обчислювальній машині необхідно провести обчислення фур’є-образу АS(x) відрахункової просторової функції аS(x):

clip_image008. (2)

На рисунку 2 показано фур’є-образ А(x) як регулярну послідовність зсунутих фур’є-образів (1.Dх)А(x-m/Dx), кожний із яких пропорційний фур’є-образу початкової неперервної функції а(х) та відділений від сосідніх образів інтервалом x=1/Dх. Перекриття зсунутих образів не буде, якщо виконується умова:

1/Dх³x. (3)

Нерівність (3) визначає інтервали відрахунків, які задовільняють умові теореми відрахунків. Із рисунку 2, що коли виконується нерівність (3), фур’є-образ можливо відновити по фур’є-образу АS(x) відрахункової функції за допомогою добутку АS(x) на прямокутню функцію вигляду clip_image010 (Рис.2). Таким чином,

clip_image012. (4)

clip_image014

Рисунок 2. Фур’є-образ АS(x) функції відрахунків.

Отримавши значення A(x) з дискретних відрахунків функції а(x), перейдемо до відновлення початкової просторової функції а(х). Зворотнє фур’є-перетворення добутку АS(x) на Dxrect(x/xмакс) в співвідношенні (4) еквівалентно операції згортки в просторі зворотніх фур’є-образів цих функцій. Виходячи з умови, що

(Sinpcx)/(pcx)É(1/с)rect(x/c), (5)

для зворотнього фур’є-образу прямокутньої функції отримуємо

clip_image016. (6)

Відповідно до а(х)=₣-1[А(x)], враховуючи (1) можливо записати

clip_image018. (7)

Якщо вибраний максимально-допустимий інтервал Dх=1/x, то вираз (7) спрощується:

clip_image020. (8)

clip_image022

Рисунок 3. Відновлення початкової функції а(х) по відрахунковій аS(х).

На рисунку 3 представлено відновленя функції а(х) за допомогою суми функцій вигляду(Sinz)/z. Показано тільки два члени суми (8).

Проведемо розгляд двохмірних голограм. Нехай А(x,h) є фур’є-образрм амплітуди а(х,у). Оскільки необхідно відновити А(x,h) по обрахованим дискретним значенням цієї функції, слід вказати це у нашому математичному представлені А(x,h). З цією метою можливо видозмінити (8). Таким чином просторовий двомірний аналог виразу (8) має вигляд:

clip_image024, (9)

де (m,n) означає точку відрахунку в площині просторового спектру. Для виконання зворотнього фур’є-перетворення функції А(x,h) застосовують об’єктив, в задній площині якого отримують зображення початкової функції об’єкту а(х,у). За допомогою співвідношення (5) ми отриимуємо для
а(х,у)=₣-1[А(x,h)] наступний вираз:

clip_image026. (10)

Функцію а(х,у) у (10) можливо розглядати як комплексну амплітуду зображення об’єкту відновлену ідеальною фур’є-голограмою, синтезованою на обчислювальній машині.

clip_image028

Рисунок 4. Ділянка голограми синтезована на ЕОМ.

Синтезована голограма, яку можливо описати як непрозорий екран з великою кількістю зроблених отворів, математично описується двомірною матрицею d-функцій Н(x,h). Припустимо, що Н(x,h) освітлюється неосевою плоскою хвилею, фаза якої буде залежати тільки від x. Точки відрахунків на площині просторових частот знаходяться на рівних відстанях Dx=Dh по вісям x та h. Оскільки фаза освітлюючої хвилі змінюється тільки в напрямку x, фазове кодування ефективне тільки по напрямку x і виконується за допомогою зміщення даного отвору від пов’язаної з ним точки відрахунку (mDx,nDh) на малу відстань рmnDx у напрямку x (Рис.4). Для матриці отворів Н(x,h) можливо записати:

clip_image030. (11)

clip_image032

Рисунок 5. Схема освітлення фур’є-голограми; 1-просторова площина; 2-протяжність об’єкту; 3-площина частот ; 4-синтезована голограма; 5-площина зображення.

Освітлення голограми Н(x,h) неосевою плоскою хвилею, від точкового джерела, розташованого в точці з координатами (х=х0,у=у0) в просторовій площині (Рис.5), створює в площині голограми комплексну амплітуду:

clip_image034. (12)

В задній фокальній площині лінзи L2 (Рис.5) отримуємо зворотній фур’є-образ амплітуди W:

clip_image036. (13)

Голограма володіє необхідними властивостями, якщо амплітуда світла w(x,y) дифрагованого нею в площину зображення, співпадає з комплексною амплітудою початкового об’єкту а(х,у). Значення функції w(x,y) дорівнює значенню функції а(х,у) , якщо:

clip_image038, (14)

тобто, якщо площа малого отвору пропорційна абсолютному значенню амплітуди фур’є-образу, та:

clip_image040. (15)

Вирази (14) та (15) визначають умови, необхідні для синтезу голограми: вони задають площу та положеня кожного малого отвору або прозорість точки на голограмі.

Синтезовані голограми аналогічні звичайним голограмам. Відновлене зображення може бути вільне від фіктивних зображень, звичайно пов’язаних з нелінійністю запису. Але дискретність відрахунків привиде до появи спектрів вищих порядків (Рис.2). Але ці порядки не перекриваються. Якщо виконується теорема відрахунків.

Література

1.Л.Г.Бебчук, Ю.В.Богачев, Н.П.Заказнов Прикладная оптика 1989. — М:»Машиностроение 312с.

2.Р.Кольер, К.Беркхарт, Л.Лин Оптическая голография. -М.:Мир. -1973. –686 с.

Оставьте комментарий к статье