Теорема Остроградського – Гауса

Визначимо потік напруженості поля електричних зарядів q1, q2, q2, … qn крізь деяку замкнуту поверхню, яка оточує ці заряди (Рис 1). Будемо вважати потік від’ємним, якщо він направлений всередину поверхні; в іншому випадку будемо вважати його додатнім.

 

Розглянемо спочатку випадок сферичної поверхні радіусом R, що оточує один заряд q, що знаходиться в центрі (Рис 2). Напруженість поля на всій сфері однакова і рівна

clip_image002

Силові лінії направлені по радіусах, тобто перпендикулярно до поверхні сфери, тоді потік напруженості N розрахуємо за формулою:

clip_image004 (1)

де S=4πR2 – площа сферичної поверхні.

Оточимо тепер сферу довільною замкнутою поверхнею. Як видно на рис. 2, кожна силова лінія, що пронизує цю сферу, пронизить і цю поверхню. Відповідно, формула (1) справедлива не тільки для сфери, а й для будь-якої замкнутої поверхні.

clip_image006

Рис 1 clip_image008

Рис 2

Тепер повернемося до загального випадку довільної поверхні, яка оточує n зарядів (Рис 1). Очевидно, що потік напруженості через поверхню рівний сумі потоків, створюваних кожним із зарядів: clip_image010;

або остаточно

clip_image012

Отже, потік напруженості, пронизуючий будь-яку замкнену поверхню, яка оточує електричні заряди, пропорційний алгебраїчній сумі оточених зарядів.

Це положення називається теоремою Остроградського – Гауса

Оставьте комментарий к статье